SESIONES

EJERCICIO CADENA DE MARKOV

26.Un estudiante va al instituto andando o en autobús. cuando va andando un día, la probabilidad de que al día siguiente coja el autobús es 0,6. LA probabilidad de que vaya en autobús dos días seguidos es 0,7.¿Aproximadamente con qué frecuencia coge el autobús a lo largo de todo el curso?

	camion	autobus
camion	0,4	0,7
autobús	0,3	0,6

 DINAMICA CON ASIGNACION DE TRABAJADORES

 II UNIT CADENAS DE MARKOV

SESION 5

DILEMA DEL PRISIONERO

TEORIA DE JUEGOS "ESTRATEGIA DOMINANTE"

La teoría de los juegos es una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.

La teoría de juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su utilidad.

La teoría de juegos fue ideada en primer lugar por John von Neumann. Luego, John Nash, A.W. Tucker y otros hicieron grandes contribuciones a la teoría de juegos.

Juegos

Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.

Estrategia

Cuando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.

Resultados de los juegos

El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina resultado de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las otras.

Forma normal versus forma extensiva de los juegos

En juegos de forma normal, los jugadores mueven simultáneamente. Si el conjunto de estrategias es discreto y finito, el juego puede ser representado por una matriz NxM (ver abajo). Un juego en forma extensiva especifica el orden completo de movimientos a través de la dirección del juego, generalmente en un árbol de juego.

Juegos NxM

Una forma de juegos de dos jugadores, en la cual un jugador tiene N acciones posibles y el otro tiene M acciones posibles. En un juego así, los pares de utilidades o pagos pueden ser representados en una matriz y el juego es fácilmente analizable. Los juegos NxM dan una idea de cómo puede verse la estructura de un juego mas complejo.

Matriz de resultados de un juego

La matriz de resultados de un juego representa el resultado del juego en una matriz. Supongamos que dos personas, A y B, están jugando un sencillo juego. El juego consiste en lo siguiente: la persona A tiene la posibilidad de elegir “arriba” o “abajo”, mientras que B puede elegir “izquierda” o “derecha”. Los resultados del juego se representan en la matriz de resultados:

	Izquierda	Derecha
Arriba	(50 , 100)	(0 , 50)
Abajo	(100 , 50)	(50 , 0)

Estrategia dominante

Una estrategia dominante es aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir “izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia dominante se puede predecir el resultado del juego.

Equilibrio de Nash

El equilibrio de Nash fue formulado por John Nash, que es un matemático norteamericano, en 1951. Un par de estrategias es un equilibrio de Nash si la elección de A es óptima dada la de B y la de B es óptima, dada la de A. El equilibrio de Nash se diferencia del equilibrio de las estrategias dominantes en que, en el equilibrio de las estrategias dominantes, se exige que la estrategia de A sea óptima en el caso de todas las elecciones óptimas de B, y viceversa. El equilibrio de Nash es menos restrictivo que el equilibrio de estrategias óptimas.

Un juego puede tener más de un equilibrio de Nash. Existen juegos en los no existe un equilibrio de Nash.

Dilema del prisionero

Considera la siguiente historia. Dos sospechosos de un crimen son puestos en celdas separadas. Si ambos confiesan, cada uno será sentenciado a tres años de prisión. Si sólo uno confiesa, el que confiese será liberado y usado como testigo contra el otro, quien recibirá una pena de diez años. Si ninguno confiesa, ambos serán condenados por un cargo menor y tendrán que cumplir una pena de sólo un año de prisión. Este juego puede ser representado por una matriz 2x2:

  

	Sospechoso B confiesa	Sospechoso B no confiesa
Sospechoso A confiesa	(3 , 3)	(0 , 10)
Sospechoso A no confiesa	(10 , 0)	(1 , 1)

Veamos cuál es la estrategia óptima para cada sospechoso. Si B confiesa, A preferirá confesar, ya que si confiesa obtendrá una pena de 3 años, y si no confiesa obtendrá una pena de 10 años. Si B no confiesa, A preferirá confesar, ya que de este modo será liberado, y si no confesara obtendrá una pena de un año. Entonces, A va a confesar, independientemente de lo que haga B. Análogamente, B también va a confesar independientemente de lo que haga A. Es decir, ambos sospechosos van a confesar y obtener entonces una pena de tres años de prisión cada uno. Este es el equilibrio del juego, que es ineficiente en el sentido de Pareto, ya que se puede reducir la condena de ambos si ninguno confesara.

Este es el ejemplo mas famoso de las situaciones en la que los equilibrios competitivos pueden llevar a resultados ineficientes. El dilema del prisionero ilustra la situación que se presenta en los cárteles. En un cártel, las empresas coalicionan (hacen un acuerdo) para reducir su producción y así poder aumentar el precio. Sin embargo, cada empresa tiene incentivos para producir mas de lo que fijaba el acuerdo y de este modo obtener mayores beneficios. Sin embargo, si cada una de las firmas hace lo mismo, el precio va a disminuir, lo que resultará en menores beneficios para cada una de las firmas. La misma estructura de interacciones caracteriza el problema de la provisión de bienes públicos (problema del free rider), y del pago voluntario de impuestos.

Juegos de suma constante

Juegos en los que para cada combinación de estrategias, la suma de los pagos (o utilidades) a cada jugador es la misma. Todas las situaciones de intercambio que no permiten la creación o destrucción de recursos son juegos de suma constante.

Árbol de juegos

El árbol de juegos es una representación de un juego que describe la estructura temporal de un juego en forma extensiva. EL primer movimiento del juego se identifica con un nodo distintivo que se llama la raíz del juego. Una jugada consiste en una cadena conectada de ramas que comienza en la raíz del árbol y termina, si el juego es finito, en el nodo terminal. Los nodos representan los posibles movimientos en el juego. Las ramas que parten de los nodos representan las elecciones o acciones disponibles en cada movimiento. A cada nodo distinto del nodo terminal se le asigna el nombre de un jugador de modo que se sabe quién hace la elección en cada movimiento. Cada nodo terminal informa sobre las consecuencias para cada jugador si el juego termina en ese nodo.

Juego repetido

En un juego repetido un grupo fijo de jugadores juega un juego dado repetidamente, observando el resultado de todas las jugadas pasadas antes que comience la siguiente jugada. La posibilidad de observar las acciones y los resultados pasados antes de que comience la siguiente jugada permite que los jugadores penen o premien las acciones pasadas, de modo que surgen estrategias que no surgirían en los juegos simples no repetidos. Por ejemplo, repitiendo el juego del dilema del prisionero un número suficiente de veces da como resultado un equilibrio en el cual ambos prisioneros nunca confiesan.

EQUILIBRIO DE NASH

Dentro de nuestra serie de Conceptos de Economía esta semana analizamos el Equilibrio de Nash. Un concepto que fue desarrollado por el economista francés Antonie Augustin Cournot en su análisis denominado ‘Oligopolios’ (1838), y en el que plantea un modelo competitivo de varias empresas que compiten por un mismo bien, y en el que cada una de ellas intenta determinar la cantidad ‘óptima’ que deben producir para maximizar sus ganancias individuales.

1. ORIGEN DEL CONCEPTO

 Dentro del mismo podemos encontrar el desarrollo de las estrategias puras, el de estrategias mixtas, y el denominado Equilibrio de Nash para juegos extensivos, estos son:se dice de una combinación de estrategias (una por jugador) que está en equilibrio de Nash si ningún jugador puede aumentar sus ganancias por un cambio unilateral de estrategia. Con frecuencia se identifica, por abuso del lenguaje y sin que ello tenga consecuencias, un equilibrio de Nash con la salida que le corresponde. En la definición del equilibrio de Nash el adjetivo “unilateral” ocupa un lugar esencial, en tanto ello traduce el carácter no cooperativo de las elecciones individuales (el “cada cual para sí mismo”). Así es bastante posible que en un equilibrio de Nash la situación se puede mejorar para todos por medio de un cambio simultáneo de estrategia por parte de varios jugadores. Volveremos sobre este importante punto cuando nos referimos a la eficiencia del equilibrio de Nash. a) Importancia y límites del equilibrio de Nash. El equilibrio de Nash ocupa un lugar central en la teoría de juegos; constituye de alguna manera una condición mínima de racionalidad individual ya que, si una combinación de estrategias no es un equilibrio de Nash, existe al menos un jugador que puede aumentar sus ganancias cambiando de estrategia, y en consecuencia, ésta se puede considerar difícilmente como una “solución” del modelo en la medida en que el jugador interesado en cambiar descarta su elección, después de conocer la de los otros. Ahora, el recíproco de esta proposición no es generalmente verdad: si un juego admite un equilibrio de Nash no existe una razón a priori para que éste aparezca como la “solución” evidente, que se impone a los ojos de todos los jugadores. Ello al menos por una razón: con frecuencia los juegos admiten varios equilibrios de Nash, como se constata en el ejemplo de dos que han diseñado normas diferentes de emisión para la televisión. En efecto, la pareja de estrategias: (A adopta la norma A, B adopta la norma A) es un equilibrio de Nash del modelo en tanto A evidentemente no tiene interés de cambiar de estrategia habida cuenta la elección de B; este tampoco ya que la coexistencia de dos normas diferentes es el caso más desfavorable para las dos empresas. Ahora, la pareja de estrategias: (A adopta la norma B, B adopta la norma B) es de igual manera un equilibrio de Nash, como se puede verificar de manera inmediata. Ninguno de estos dos equilibrios aparece como una solución evidente porque A prefiere la primera ya que impone su norma y B la segunda, por iguala motivo. Se deduce la posibilidad de que cada uno escoja producir según su propia norma, pensando que el otro lo seguirá, con el resultado de una salida que no es de equilibrio, pues es mala para todos. Se encuentra la cuestión central para el microeconomista, la coordinación, propuesta en el marco de juegos, pero igualmente no resuelta por éste mismo marco.

  1.1. Estrategias puras
 Su vertiente de estrategias puras fue estudiada por el propio Cournot y se desarrolló partiendo de la base de que todo lo que un individuo ganaba/perdía equivalía a lo que otro perdía/ganaba, permaneciendo invariable la situación global de la economía, juego económico que no tuvo mucha profundidad al no poder elegir cada individuo una estrategia de manera simultánea.

  1.2. Estrategias mixtas Para el desarrollo de las estrategias mixtas se tendría que dar la coexistencia simultánea de distintas estrategias de acción por cada individuo que interactúa en el juego. Para ello habría que esperar al desarrollo de la que se denominó ‘Teoría de Juegos moderna’ con los estudios de John Von Neuman y de Oskar Morgenstein en su obra ‘The Theory of Games and Economic Behavior’ (1944). Para conocer el verdadero esplendor del desarrollo de este Concepto tendría que llegar el economista John Forbes Nash, que fue quién demostró en su trabajo de doctorado del año 1951 el auténtico valor del mismo, consiguiendo un desarrollo más profundo del análisis hasta conseguir lo que hoy se conoce como Equilibrio de Nash, de carácter multidisciplinar, y por el cual obtendría el Premio Nobel de Economía en el año 1994, al demostrar que cualquier juego con un número finito de estrategias tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas, y considerar el comité de los Premios Nobel que el equilibrio de Nash se cumple para los juegos no cooperativos.

  1.3. Aplicación en los Juegos extensivos Aunque en esencia no modificaba el análisis de John Forbes Nash, sí modifico el método en el que el equilibrio se obtiene, añadiendo la posibilidad de razonar mediante la ‘inducción hacia atrás’ para la determinación de la estrategia resultante.

2. Principales hipótesis 

 Como en casi todos los supuestos económicos, subyace una fuerte hipótesis de racionalidad, siendo los subsiguientes supuestos, los que permitirán alcanzar un equilibrio de Nash, estos son: Todos y cada uno de los jugadores buscan maximizar su pago / ganancia esperada de acuerdo a los pagos y las condiciones que describen el juego Los jugadores llevan a cabo las estrategias deseadas y premeditadas de acuerdo a sus preferencias, estrategias que se entiende que son ejecutadas sin errores Los jugadores poseen la habilidad suficiente para la determinación de sus equilibrios privados y la de estimar la de los demás jugadores que interactúan en el juego Se supone que el hecho de que un individuo modifique su estrategia, no afecta a la decisión original que otro individuo planea desplegar. Cada jugador también determina su camino en base a lo que piensa que otros harán y, si piensa que lo cambie, lo tendrá en cuenta en su determinación Todos los agentes económicos que interactúan asumen el cumplimiento de las normas y suponen al mismo tiempo la racionalidad como característica general de todos y cada uno de ellos.


3. Problemas de aplicabilidad y del no cumplimiento de las hipótesis 

 Si no se dan las circunstancias predefinidas en el epígrafe anterior, los resultados del juego no serían Equilibrios de Nash, sino que se consumarían otro tipo de soluciones, los principales fallos son: Basta con que uno de los jugadores no sea racional, para que no se pueda alcanzar un equilibrio de Nash Tampoco se cumpliría el equilibrio con que exista al menos un jugador que no sea capaz de llevar a cabo su estrategia premeditada En ocasiones las ‘reglas del juego’ no están del todo claras para todos y cada uno de los individuos que interactúan, existiendo una tendencia natural a resolverlos decidiendo en base a la experiencia, y por tanto, en ocasiones pueden alcanzarse equilibrios que pueden diferir en parte importante de los equilibrios teóricos o reales


4. El Equilibrio de Nash en nuestras vidas 

 Este Concepto, por su carácter multidisciplinar, tiene una aplicabilidad variopinta en la vida real. Es cierto que hay juegos como el popular ‘piedra, papel o tijera’ para los cuáles no se cumple, pero hay casos tanto en la vida personal, así como en la profesional que si cabe su aplicabilidad. Las aplicaciones más renombradas y comunes son:

  4.1. El Juego competitivo Es un juego en el que su versión más simple participan dos agentes económicos, en el que pueden participar más, y en el que ambos deben escoger simultáneamente un número entero entre cero y diez. Los dos jugadores ganan el valor menor en unidades monetarias propuesto, pero además, si los números son distintos, el que ha escogido el mayor le debe pagar dos unidades monetarias al otro, existiendo un único equilibrio de Nash, aquél en el que ambos jugadores escogen el cero. Por tanto, cualquier otra combinación puede ser más lesiva para los intereses al existir un participante en el juego que escoja un número entero de valor más bajo. Si introducimos una ligera modificación del juego consistente en que si ambos individuos pueden alcanzar la ganancia elegida en caso de que ambos coincidan, este juego tendría once equilibrios de Nash.

  4.2. Juego de coordinación Este caso es un juego de coordinación al conducir, y en el que existen dos participantes, en el que sus opciones son: conducir por la derecha o conducir por la izquierda, y sus pagos son cien si no se produce el choque y cero si sucede este. Este juego puede alcanzar únicamente dos equilibrios de Nash, siempre y cuando los dos participantes elijan la opción opuesta de manera simultánea.

  4.3. Dilema del prisionero Es el juego más popular dentro del Concepto del Equilibrio de Nash, y consiste en un juego de estrategias puras, cuando se detiene a dos individuos por cometer un delito y estos confiesan el haber realizado el delito que se les imputa al mismo tiempo. Estrategia que resultará más lesiva para ambos que si decidiesen cooperar, puesto que deberán pasar un mayor tiempo en la cárcel. Se preguntarán, ¿por qué no deciden cooperar de entrada los dos participantes? Pues la respuesta es sencilla, y es porque una vez conocida la elección de uno de los participantes por parte del otro, siempre es posible mejorar el resultado personal en el mismo. Por tanto, si ambos cooperan, la decisión sí sería un óptimo de Pareto, aunque no un Equilibrio de Nash. Apoyémonos en el siguiente grafico para ilustrar este razonamiento, en la matriz figuran los pagos, y en las cabeceras tenemos las distintas estrategias que podemos seguir nosotros y nuestro homónimo: Existe la posibilidad de alcanzar el equilibrio de Nash por otras dos vías alternativas, la primera mediante una estrategia de colusión reforzando la confianza mediante un contrato, o bien, por la experiencia, en la que ambos jugadores aplicarían la antigua regla del ‘ojo por ojo y diente por diente’.

  4.4. La tragedia de los comunes Este juego procede de un análisis posterior que realizaría Garrett James Hardin sobre el Equilibrio de Nash, que publicaría en su obra ‘The tragedy of the commons’ (La tragedia de los comunes) (1968). Que consiste en un juego en el que existen n jugadores, que hacen uso de un bien común, como por ejemplo un bosque. Todos los jugadores pueden decidir entre cuidarlo o no, y aunque algunos decidan no cuidarlo, siempre podrán hacer uso de él. Constituyendo un juego en el que los jugadores deberán decidir entre seguir una estrategia egoísta o en cambio, solidaria. Juego que alcanzaría sus n equilibrios Nash si el total de agentes económicos que participan eligen la estrategia egoísta, puesto que ser solidarios reduce su ganancia. Al igual que sucede con algunos bienes públicos existe un problema de conservación de bienes como el caso del medio ambiente que, partiendo de una situación en la que no se puede contaminar, casi siempre tenderemos a ser egoístas y valorar más nuestra comodidad utilizando nuestro vehículo privado, antes que proteger la atmósfera de gases contaminantes. En este sentido, y para modificar este equilibrio de Nash, los gobiernos y las administraciones públicas introducen pagos adicionales en el juego, como por ejemplo las multas, que ‘son capaces’, demodificar el comportamiento ‘natural’ de los individuos, para tratar de forzar un equilibrio social en el que todos los individuos son solidarios.

BIOGRAFIA DE JOHN FORBES NASH 

Nació en Bluefield Sanatorium el 13 de junio de 1928 (bajo el signo de Géminis) y fue bautizado en la iglesia Episcopaliana. Sus biógrafos dicen que fue un niño solitario e introvertido aunque estaba rodeado de una familia cariñosa y atenta. Parece que le gustaban mucho los libros y muy poco jugar con otros niños. Su madre le estimuló en los estudios enseñándole directamente y llevándole a buenos colegios.

John Nash, no se destacó por su brillantez en el colegio. Por el contrario, debido a su torpeza en las relaciones sociales, era considerado como un poco atrasado. Sin embargo, a los doce años dedicaba mucho tiempo en su casa a hacer experimentos científicos en su habitación.

Desde su infancia su comportamiento e inquietudes revelan su extraordinaria capacidad intelectual y sus dificultades para relacionarse con los demás. A lo largo de su vida su característica más definitoria será un egocentrismo exacerbado que le incapacita para comprender a los demás seres humanos y que le impide relacionarse con estos en términos de igualdad no sólo en el terreno afectivo, sino incluso en el intelectual. Nash se nutre fundamentalmente de su propia mente, lo que constituirá a la vez su refugio y su perdición.

A los catorce años Nash empezó a mostrar interés por las matemáticas. Parece ser que influyó la lectura del libro de Eric Temple Bell, "Men of Mathematics" (1937). Entró en el Bluefield College en 1941. Comenzó a mostrarse hábil en matemáticas, pero su interés principal era la química. Se suponía que iba a seguir la misma carrera de su padre, ingeniería eléctrica, pero continuaba con sus experimentos químicos. Parece ser que tuvo alguna relación con la fabricación de unos explosivos que produjeron la muerte a uno de sus compañeros de colegio. Nash ganó una beca en el concurso George Westinghouse y entró en junio de 1945 en el Carnegie Institute of Technology (hoy llamado Carnegie-Mellon University) para estudiar ingeniería química. Sin embargo empezó a destacar en matemáticas cuyo departamento estaba dirigido entonces por John Synge, que reconoció el especial talento de Nash y le convenció para que se especializara en matemáticas.

A los veinte años, solicitó ser admitido como alumno en Princeton, la carta de recomendación escrita por su profesor R.J. Duffin tenía solo una línea: "Este hombre es un genio".

Ingresa en Princeton que era en aquel momento el centro mundial de las matemáticas (aunque carecía del prestigio de Harvard y estaba formado por una mezcla de izquierdosos, judíos y extranjeros que a Nash no acababa de convencerle), donde trabajaban en ese momento genios como Einstein o Von Neuman. En Princeton, por tanto, se encontró con algunas de las mejores mentes del momento y con algunas de las más prometedoras, lo que si bien no mermó su confianza y presunción si aumentó su ansia por destacar, por superarse a sí mismo y a los demás y por obtener reconocimiento. "La mayoría de los doctorandos eran personajes extravagantes, marcados por la timidez y la inseguridad, por peculiaridades poco corrientes y todo tipo de tics físicos y psicológicos, pero, sin ninguna excepción, compartían la sensación de que Nash era todavía más extraño".

A los 21 años escribió una tesis de menos de treinta páginas en la que expuso por primera vez su solución para juegos estratégicos no cooperativos, lo que desde entonces se llamó "el equilibrio de Nash", que tuvo un inmediato reconocimiento entre todos los especialistas.

El punto de equilibrio de Nash es una situación en la que ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia ya que cualquier cambio implicaría una disminución en sus pagos. Von Neumann y Oskar Morgenstern habían ya ofrecido una solución similar pero sólo para los juegos de suma cero. Para la descripción formal del problema y su solución, Nash utilizó funciones de mejor respuesta y el teorema del punto fijo de los matemáticos Brouwer y Kakutani.

En los años siguientes publicó nuevos escritos con originales soluciones para algunos problemas matemáticos y de la teoría de juegos, destacando la "solución de regateo de Nash" para juegos bipersonales cooperativos. Propuso también lo que se ha dado en llamar "el programa de Nash" para la reducción de todos los juegos cooperativos a un marco no cooperativo.

Tras dejar Princeton, Nash comenzó a trabajar para la RAND, una institución de las fuerzas aéreas dedicada a la investigación estratégica, que en aquel momento reclutaba talentos matemáticos para trabajar en la aplicación de la teoría de juegos a las nuevas circunstancias mundiales. La RAND, que tuvo una influencia enorme en la política de defensa estadounidense, se vio inmersa en el clima de paranoia que se extendió por Estados Unidos en la primera etapa de la guerra fría, alcanzando su punto álgido en la campaña anticomunista emprendida por el senador McCarthy. Así pues la RAND combinaba en aquel momento un clima de secretismo, unas medidas de seguridad extremas, con un ambiente de trabajo absolutamente libre e informal, que fomentaba por encima de toda la creatividad y el trabajo individual. Se puede pensar que Nash compartía con la RAND esa doble personalidad. De hecho los posteriores delirios de un Nash gravemente enfermo se centrarían casi siempre en supuestas conspiraciones, mensajes cifrados o gobiernos secretos mundiales de los que sólo él era consciente. Su ingreso en el MIT coincidió con el inicio del despegue del mismo y su transformación de la primera escuela de ingeniería del país en el prestigioso centro de estudio e investigación que es en la actualidad.

Comenzó también en esta época a mantener intensas pero conflictivas relaciones con algún compañero por el que sentía atraído, tanto física como intelectualmente. La postura de Nash ante sus evidentes inclinaciones homosexuales fue casi siempre la de la negación, a pesar de que sus supuestos escarceos en un lavabo público le valieron la expulsión de la RAND, en plena "caza de brujas".

Una de las alumnas de Nash en el Instituto Tecnológico de Massachussets (MIT), Alicia Larde, entabló una fuerte amistad con él. Había nacido en El Salvador, pero su familia había emigrado a USA cuando ella era pequeña y habían obtenido la nacionalidad hacía tiempo. El padre de Alicia era médico en un hospital federal en Maryland. En el verano de 1955 John Nash y Alicia salían juntos. En febrero de 1957 se casaron. En el otoño de 1958 Alicia quedó embarazada, pero antes de que naciera su hijo, la grave enfermedad de Nash ya era muy manifiesta y había sido detectada. Alicia se divorció de él más adelante, pero siempre le ayudó mucho. El hijo, al que tuvo que sacar adelante ella sola, desarrolló más tarde la misma enfermedad que su padre.

En 1959, tras estar internado durante 50 días en el McLean Hospital, viaja a Europa donde intentó conseguir el estatus de refugiado político. Creía que era perseguido por criptocomunistas. En los años siguientes estaría hospitalizado en varias ocasiones por períodos de cinco a ocho meses en centros psiquiátricos de New Jersey. Unos años después, Nash escribió un artículo para una revista de psiquiatría en el que describió sus pensamientos de aquella época: ".. el personal de mi universidad, el Massachusetts Institute of Technology, y más tarde todo Boston, se comportaba conmigo de una forma muy extraña. (...) Empecé a ver criptocomunistas por todas partes (...) Empecé a pensar que yo era una persona de gran importancia religiosa y a oír voces continuamente. Empecé a oír algo así como llamadas telefónicas que sonaban en mi cerebro, de gente opuesta a mis ideas. (...) El delirio era como un sueño del que parecía que no me despertaba.

Pasado ese lapso, en los años setenta, recuperó su salud mental y pudo volver a la docencia y la investigación con nuevas geniales aportaciones. Estas fueron sus palabras: ...Ahora parece que he vuelto a pensar racionalmente de nuevo, en el estilo característico de los científicos. Sin embargo eso no es algo de lo que haya que alegrarse como si alguien con alguna limitación física hubiera recuperado su buena salud. Un aspecto de esto es que la racionalidad del pensamiento impone un límite al concepto que tiene una persona de su relación con el cosmos. Por ejemplo, un no-zoroastriano podría considerar a Zaratustra simplemente como un loco que arrastró a millones de ingenuos seguidores a un culto de adoración ritual del fuego. Pero sin esa "locura" Zaratustra habría sido solo otro de los millones o billones de individuos que han vivido y después han sido olvidados...

Economista estadounidense y profesor en la Princeton University de New Jersey. Obtiene el Premio Nobel de Economía en 1994, compartido con John C. Harsanyi y Reinhart Selten por sus pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los juegos no cooperativos. Hoy en día Nash es una leyenda viviente que sigue entregado a su trabajo en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton.

CLASES DE LABORATORIO

La toma de decisiones es el proceso mediante el cual se realiza una elección entre las alternativas o formas para resolver diferentes situaciones de la vida, estas se pueden presentar en diferentes contextos: a nivel laboral, familiar, sentimental, empresarial (utilizando metodologías cuantitativas que brinda la administración), (aún cuando no se evidencie un conflicto latente).