La teoría de los juegos es
una rama de la matemática con aplicaciones a la economía, sociología, biología
y psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman
decisiones en una marco de incentivos formalizados (juegos). En un juego, varios
agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción.
La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción
escogidos por el resto de los individuos.
La teoría de
juegos es una herramienta que ayuda a analizar problemas de optimización
interactiva. La teoría de juegos tiene muchas aplicaciones en las ciencias
sociales. La mayoría de las situaciones estudiadas por la teoría de juegos
implican conflictos de intereses, estrategias y trampas. De particular interés
son las situaciones en las que se puede obtener un resultado mejor cuando los
agentes cooperan entre sí, que cuando los agentes intentan maximizar sólo su
utilidad.
La teoría de juegos fue ideada
en primer lugar por John von Neumann. Luego, John Nash, A.W. Tucker y otros
hicieron grandes contribuciones a la teoría de juegos.
Se denomina juego a la
situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los
posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de
utilidades.
Cuando un jugador tiene en cuenta
las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se dice que el
jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo
que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que
comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar
durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente.
La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.
Resultados de los juegos
El resultado de un juego es
una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina resultado de
equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado que
los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico
es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su
estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia.
Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un equilibrio si las
estrategias conforman la mejor respuesta a las otras.
Forma normal versus forma extensiva de los juegos
En juegos de forma normal, los
jugadores mueven simultáneamente. Si el conjunto de estrategias es discreto y
finito, el juego puede ser representado por una matriz NxM (ver abajo). Un
juego en forma extensiva especifica el orden completo de movimientos a través
de la dirección del juego, generalmente en un árbol de juego.
Juegos NxM
Una forma de juegos de dos
jugadores, en la cual un jugador tiene N acciones posibles y el otro tiene M
acciones posibles. En un juego así, los pares de utilidades o pagos pueden ser
representados en una matriz y el juego es fácilmente analizable. Los juegos NxM
dan una idea de cómo puede verse la estructura de un juego mas complejo.
Matriz de resultados de un juego
La matriz de resultados de un
juego representa el resultado del juego en una matriz. Supongamos que dos
personas, A y B, están jugando un sencillo juego. El juego consiste en lo
siguiente: la persona A tiene la posibilidad de elegir “arriba” o “abajo”,
mientras que B puede elegir “izquierda” o “derecha”. Los resultados del juego
se representan en la matriz de resultados:
|
Izquierda
|
Derecha
|
|
|
Arriba
|
(50 , 100)
|
(0 , 50)
|
|
Abajo
|
(100 , 50)
|
(50 , 0)
|
Estrategia dominante
Una estrategia dominante es
aquella elección que realiza el jugador independientemente de lo que haga el
otro. En el juego representado en la matriz de arriba, la estrategia dominante
para A es elegir “abajo”, mientras que la estrategia dominante para B es elegir
“izquierda”. Estas estrategias dominantes dan como resultado el equilibrio de
estrategias dominantes del juego. Si cada jugador tiene una estrategia
dominante se puede predecir el resultado del juego.
Equilibrio de Nash
El equilibrio de Nash fue
formulado por John Nash, que es un matemático norteamericano, en 1951. Un par
de estrategias es un equilibrio de Nash si la elección de A es óptima dada la
de B y la de B es óptima, dada la de A. El equilibrio de Nash se diferencia del
equilibrio de las estrategias dominantes en que, en el equilibrio de las
estrategias dominantes, se exige que la estrategia de A sea óptima en el caso
de todas las elecciones óptimas de B, y viceversa. El equilibrio de Nash es
menos restrictivo que el equilibrio de estrategias óptimas.
Un juego puede tener más de un
equilibrio de Nash. Existen juegos en los no existe un equilibrio de Nash.
Dilema del prisionero
Considera la siguiente
historia. Dos sospechosos de un crimen son puestos en celdas separadas. Si
ambos confiesan, cada uno será sentenciado a tres años de prisión. Si sólo uno
confiesa, el que confiese será liberado y usado como testigo contra el otro, quien
recibirá una pena de diez años. Si ninguno confiesa, ambos serán condenados por
un cargo menor y tendrán que cumplir una pena de sólo un año de prisión. Este
juego puede ser representado por una matriz 2x2:
|
Sospechoso B
confiesa
|
Sospechoso B no
confiesa
|
|
|
Sospechoso A
confiesa
|
(3 , 3)
|
(0 , 10)
|
|
Sospechoso A no
confiesa
|
(10 , 0)
|
(1 , 1)
|
Veamos cuál es la estrategia
óptima para cada sospechoso. Si B confiesa, A preferirá confesar, ya que si
confiesa obtendrá una pena de 3 años, y si no confiesa obtendrá una pena de 10
años. Si B no confiesa, A preferirá confesar, ya que de este modo será liberado,
y si no confesara obtendrá una pena de un año. Entonces, A va a confesar,
independientemente de lo que haga B. Análogamente, B también va a confesar
independientemente de lo que haga A. Es decir, ambos sospechosos van a confesar
y obtener entonces una pena de tres años de prisión cada uno. Este es el
equilibrio del juego, que es ineficiente en el sentido de Pareto, ya que se
puede reducir la condena de ambos si ninguno confesara.
Este es el ejemplo mas famoso
de las situaciones en la que los equilibrios competitivos pueden llevar a
resultados ineficientes. El dilema del prisionero ilustra la situación que se
presenta en los cárteles. En un cártel, las empresas coalicionan (hacen un
acuerdo) para reducir su producción y así poder aumentar el precio. Sin
embargo, cada empresa tiene incentivos para producir mas de lo que fijaba el
acuerdo y de este modo obtener mayores beneficios. Sin embargo, si cada una de
las firmas hace lo mismo, el precio va a disminuir, lo que resultará en menores
beneficios para cada una de las firmas. La misma estructura de interacciones
caracteriza el problema de la provisión de bienes públicos (problema del free
rider), y del pago voluntario de impuestos.
Juegos de suma constante
Juegos en los que para cada
combinación de estrategias, la suma de los pagos (o utilidades) a cada jugador
es la misma. Todas las situaciones de intercambio que no permiten la creación o
destrucción de recursos son juegos de suma constante.
Árbol de juegos
El árbol de juegos es una
representación de un juego que describe la estructura temporal de un juego en
forma extensiva. EL primer movimiento del juego se identifica con un nodo
distintivo que se llama la raíz del juego. Una jugada consiste en una cadena
conectada de ramas que comienza en la raíz del árbol y termina, si el juego es
finito, en el nodo terminal. Los nodos representan los posibles movimientos en
el juego. Las ramas que parten de los nodos representan las elecciones o
acciones disponibles en cada movimiento. A cada nodo distinto del nodo terminal
se le asigna el nombre de un jugador de modo que se sabe quién hace la elección
en cada movimiento. Cada nodo terminal informa sobre las consecuencias para
cada jugador si el juego termina en ese nodo.
Juego repetido
En un juego repetido un grupo
fijo de jugadores juega un juego dado repetidamente, observando el resultado de
todas las jugadas pasadas antes que comience la siguiente jugada. La
posibilidad de observar las acciones y los resultados pasados antes de que comience
la siguiente jugada permite que los jugadores penen o premien las acciones
pasadas, de modo que surgen estrategias que no surgirían en los juegos simples
no repetidos. Por ejemplo, repitiendo el juego del dilema del prisionero un
número suficiente de veces da como resultado un equilibrio en el cual ambos
prisioneros nunca confiesan.
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